1. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{~~0&` LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ax ^{3} +bx ^{2}# # ~~1}&eqalign{# ` LEFT ( 0<=x<1 RIGHT )# # ` LEFT ( x>=1 RIGHT )}}]이 실수 전체에서

2016학년 미분과 적분1 단원 정리문제	미분계수 - 접선의 방정식

개념과 응용을 한번에!!	힘찬 수학 010 - 9333 - 0919

미분 가능하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정할 때,

[eqn: ab]의 값은?
① [eqn: -6]   ② [eqn: -4]   ③ [eqn: -2]   ④ [eqn: 2]   ⑤ [eqn: 4]

0 정답 ①
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체에서 미분가능하려면 연속이어야 한다.
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1] 이므로, [eqn: lim _{x->1-0} {``f LEFT ( x RIGHT )} =1]에서 [eqn: a+b=1][eqn: ·····``㉠]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = cases{~~0&` LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# 3ax ^{2} +2bx# # ~~0}&eqalign{# ` LEFT ( 0<x<1 RIGHT )# # ` LEFT ( x>1 RIGHT )}}] 이고,
[eqn: x=1]에서 미분 가능하므로 [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) =3a+2b=0][eqn: ·····``㉡]
㉠,㉡에서 [eqn: a=-2], [eqn: b=3] ∴ [eqn: ab=`-6]

2. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n->inf} {` {x ^{n+1} +ax ^{2} +b} over {x ^{n} +1}} `][eqn: LEFT ( x!=`-1 RIGHT )]가

[eqn: x=1]에서 미분 가능할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의

값은? (단, [eqn: n]은 자연수)
① [eqn: {1} over {4}]   ② [eqn: {1} over {2}]   ③ [eqn: 1]   ④ [eqn: 2]   ⑤ [eqn: 4]

0 정답 ①

[eqn: LEFT ( i RIGHT )] [eqn: |`x`|>1]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: {1} over {x ^{n}} =0] 이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n->inf} {`` {x+ {a} over {x ^{n-2}} + {b} over {x ^{n}}} over {1+ {1} over {x ^{n}}}} =x]

[eqn: LEFT ( ii RIGHT )] [eqn: |`x`|<1]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {}][eqn: x ^{n} =0] 이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +b]

[eqn: LEFT ( iii RIGHT )] [eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {a+b+1} over {2}] [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: LEFT ( i RIGHT )], [eqn: LEFT ( ii RIGHT )], [eqn: LEFT ( iii RIGHT )]에서 [eqn: {a+b+1} over {2} +1=a+b] ∴ [eqn: a+b=1][eqn: ···㉠]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = cases{1&LEFT ( |``x`|>1 RIGHT )#eqalign{# 2ax}&eqalign{# ` LEFT ( |`x`|<1 RIGHT )}}] 이므로 [eqn: x=1]에서 미분가능하려면

[eqn: 2a=1][eqn: ·····``㉡] ㉠, ㉡에서 [eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b= {1} over {2}] ∴ [eqn: ab= {1} over {4}]

3. 미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고

[eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x]일 때,

[eqn: lim _{x->1} {`` {f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) `g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]의 값은?
① [eqn: 5]   ② [eqn: 6]   ③ [eqn: 7]   ④ [eqn: 8]   ⑤ [eqn: 9]

0정답 ③

[eqn: lim _{x->1} {`` {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]은 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]의

[eqn: x=1]에서의 미분계수이다. [eqn: y'=f' LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT ) `g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: ···``㉠]

이고, [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =2x+1] 이므로 ㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) `g' LEFT ( 1 RIGHT ) =2`·`2+1`·`3=7]

4. 다항함수 [eqn: f(x),~g(x)]가
[eqn: lim_x->3 f(x)-2over x-3 = 1], [eqn: lim_x->3 g(x)-1over x-3 = 2]를 만족시킬 때,

함수 [eqn: y=f(x) g(x)]의 [eqn: x=3]에서의 미분계수는?
① [eqn: 5]   ② [eqn: 6]   ③ [eqn: 7]   ④ [eqn: 8]   ⑤ [eqn: 9]

0 정답 ①

[eqn: lim_x->3 f(x)-2over x-3 =1]이고 [eqn: x->3]일 때, [eqn: (분모)->0]이므로

[eqn: x->3]일 때, [eqn: (분자)->0]이다.

즉, [eqn: lim_x->3 left{ f(x)- 2 right} = lim_x->3 { f(x) - f(3) }over x-3 = f~'~(3)]이므로

[eqn: f~'~(3)=1] 같은 방법으로 [eqn: g(3) =1], [eqn: g~'~(3) = 2]이다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x) g(x)]의 [eqn: x=3]에서의 미분계수는

[eqn: f~'~(3) g(3) + f(3) g~'~(3) = 1 cdot 1+ 2cdot 2= 5]

5. 미분 가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에

대하여 [eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( y RIGHT ) +xy]를 만족하고

[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른

것은?

		〈 보 기 〉
*증명*
	ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0] ㄴ. [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) =3] ㄷ. [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =x+1]

① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄱ, ㄷ  ④ ㄴ, ㄷ  ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

0 정답 ③

ㄱ. 주어진 식에 [eqn: x=y=0]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0+0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )]	∴ [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0] (참)

ㄴ, [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) = lim _{h->0} {`` {f LEFT ( 0+h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h->0} {`` {f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h->0} {`` {f LEFT ( h RIGHT )} over {h} =1}]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = lim _{h->0} {`` {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: = lim _{h -> 0} {` {f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( h RIGHT ) +h-f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}] [eqn: = lim _{h -> 0} {` LEFT { {f LEFT ( h RIGHT )} over {h} +1 RIGHT }}][eqn: =2](거짓)

ㄷ. [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = lim _{h -> 0} {`` {f LEFT ( x+h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h -> 0} {`` {f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( h RIGHT ) +xh-f LEFT ( x RIGHT )} over {h}}]
[eqn: = lim _{h -> 0} {`` LEFT { {f LEFT ( h RIGHT )} over {h} +x RIGHT }} =x+1](참)
따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

6. 함수 [eqn: y= f(x)] 의 그래프가 점 [eqn: (2,~4)] 를 지나고

[eqn: x=2]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 6]일 때,

[eqn: lim_h->0 { f left( 2 + h over 2 right) - 4 } over h] 의 값은?

0 정답 ③

[eqn: f(2) = 4]이고, [eqn: x=2]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 6]이므로

[eqn: f'(2) = 6]

[eqn: therefore]  [eqn: lim_h->0 { f left( 2 + h over 2 right) - 4 } over h = lim_h->0 { f left( 2 + h over 2 right) - f(2) } over { h over 2 } times 1 over 2]

[eqn: = f'(2) times 1 over 2][eqn: = 6 times 1 over 2 \= 3]

① [eqn: 1]   ② [eqn: 2]   ③ [eqn: 3]   ④ [eqn: 4]   ⑤ [eqn: 5]

7. 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

이 때, [eqn: f(2)] 의 값은?

㈎ [eqn: (2x+1) f'(x) = 8 x^2 +10x +3]

㈏ [eqn: f(1) =-1]

0 정답 ④

조건 ㈎에서 [eqn: f(x)]가 일차함수이면 좌변은 일차, 우변은

이차이므로 모순이다. 또한 [eqn: f(x)]가 삼차 이상의 함수이면

좌변은 삼차 이상인 함수, 우변은 이차이므로 모순이다.

따라서 [eqn: f(x) = a x^2 + bx +c] [eqn: ( a not = 0 )]라 하면

[eqn: f'(x) = 2ax + b] 이므로
[eqn: (2x +1 ) ( 2a x + b) = 8x^2 +10x +3]

[eqn: 4ax^2 +( 2a + 2b )x + b = 8 x^ 2 + 10 x +3] [eqn: cdotscdots ㉠]

㉠은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: 4a = 8 ,] [eqn: 2a +2b = 10 ,] [eqn: b=3]

따라서 [eqn: a=2,] [eqn: b=3]이므로 [eqn: f(x) =2 x^2 + 3x +c]

또한, 조건 ㈏에 의하여 [eqn: f(1) = 5+c =-1] [eqn: therefore]  [eqn: c=-6]

[eqn: therefore]  [eqn: f(2) = 2 times 2^2 + 3 times 2 - 6 = 8]

① [eqn: 2]   ② [eqn: 4]   ③ [eqn: 6]   ④ [eqn: 8]   ⑤ [eqn: 10]

8. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: (x+1) f(x) = x^2 + x + a]  를 만족할 때,

[eqn: f'(2008 )] 의 값은?[eqn: (단,````a"는 상수")]

0 정답 ①

[eqn: x not= -1] 일 때, [eqn: f(x)= {x ^{2} +x+a} over {x+1}] [eqn: f(x)]가 [eqn: x =-1]에서

연속이므로  [eqn: lim_x->-1 f(x) = f(-1)]

즉, [eqn: lim_x->-1 { x^2 + x +a } over x+1 = f(-1)]에서 [eqn: x-> -1] 일 때,

[eqn: (분모)->0] 이므로 [eqn: (분자)->0]이어야 한다.

[eqn: therefore]  [eqn: lim_x->-1 ( x^2 + x + a) = a =0]

따라서 [eqn: x not = - 1] 일 때 [eqn: f(x) = { x^2 +x } over x+1 = x] 이고

[eqn: lim_x->-1 f(x) = f(-1) =-1] 이므로  [eqn: f(x) = x]

이 때, [eqn: f'(x) =1] 이므로 [eqn: f'( 2008 ) =1]

① [eqn: 1]   ② [eqn: 10]   ③ [eqn: 100]   ④ [eqn: 1004]   ⑤ [eqn: 2008]

9. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `f' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f' LEFT ( x RIGHT ) +2x ^{3} +2x ^{2} -1]이 성립할 때.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?
① [eqn: 1]   ② [eqn: 2]   ③ [eqn: 3]   ④ [eqn: 4]   ⑤ [eqn: 5]

0 정답 ③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `f prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) -f prime LEFT ( x RIGHT ) +1=2x ^{3} +2x ^{2}]에서

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } LEFT { f' LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } =2x LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) =x ^{2} LEFT ( 2x+2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -1]은 이차식, [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) -1]은 일차식이고, [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) -1]의

일차항의 계수는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -1]의 이차항의 계수의 [eqn: 2]배이다.

[eqn: LEFT ( i RIGHT )] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -1=x ^{2} +x],[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) -1=2x]인 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+1]에서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2x+1] 이므로 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) -1=2x]

[eqn: LEFT ( ii RIGHT )] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -1=x ^{2}],[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) -1=2x+2]인 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1]에서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2x] 이므로

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) -1=2x-1]이 되어 모순이다.

[eqn: LEFT ( i RIGHT )],[eqn: LEFT ( ii RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+1] ∴ [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]

10. 함수 [eqn: f(x) = ( x^3 + 1 )( x^2 -2x - 3)]에 대하여

[eqn: f'( - 1)] 의 값을 구하여라.

0 정답 [eqn: 0]

[eqn: f'(x) = (x^3 +1 )' ( x^2 -2x -3 ) +( x^3 +1 ) ( x^2 -2x -3 )']

[eqn: = 3x^2 ( x^2 -2x -3 ) + (x^3 +1 )(2x-2)]

[eqn: therefore]  [eqn: f'( -1) = 3 cdot 1 cdot ( 1+2 -3 ) +( -1 +1 ) ( - 2 -2 ) =0]

11. 함수 [eqn: f`` LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n-> INF } {{x ^{n+2} +ax ^{2} +b} over {x ^{n+1} +2}}```]가 [eqn: x=1```]에서

미분가능할 때, [eqn: f`` LEFT ( {2} over {3} RIGHT )```]의 값은 기약분수 [eqn: {q} over {p}```]로

나타낼 수 있다. 이 때, [eqn: p+q```]의 값을 구하여라.

0 정답 [eqn: 31]

[eqn: lim _{n-> INF } {{x ^{n+2} +ax ^{2} +b} over {x ^{n+1} +2}}]

(ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {x ^{n+1}}} =0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x+ {a} over {x ^{n-1}} + {b} over {x ^{n+1}}} over {1+ {2} over {x ^{n+1}}}} =x]

(ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {x ^{n+1} =0}]이므로 [eqn: f(x)= {1} over {2} (ax ^{2} +b)]

(ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)= {a+b+1} over {3}]

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: {1} over {2} (a+b)=1] [eqn: THEREFORE ~a+b=2] 또, [eqn: f`prime(x)= cases{1&~( LEFT | x RIGHT | >1)#ax&~( LEFT | x RIGHT | <1)}]이므로

[eqn: x=1]에서 미분가능하려면 [eqn: a=1] [eqn: THEREFORE ~a=1,~b=1]

따라서 [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2}]이므로

[eqn: f LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) = {1} over {2} cdot {4} over {9} + {1} over {2} = {13} over {18}] [eqn: THEREFORE ~p+q=18+13=31]

12. [eqn: lim _{x-> 1} {{x ^{10} -3x+2} over {x-1}}] 의 값은?
① [eqn: -5]   ② [eqn: -2]   ③ [eqn: 1]   ④ [eqn: 4]   ⑤ [eqn: 7]

0 정답 ⑤

[eqn: f(x)=x ^{10} -3x]로 놓으면 [eqn: f(1)=-2]이고,

[eqn: f`prime(x)=10x ^{9} -3] [eqn: THEREFORE ~ lim _{x-> 1} {{x ^{10} -3x+2} over {x-1}} = lim _{x-> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]

[eqn: =f`prime(1)][eqn: =10cdot1 ^{9} -3=7]

13. [eqn: f(x) = x^3 -2x^2 +3x-1]에 대하여

[eqn: lim_x->2 { 4f(x) - x^2 f(2)}over {x^2 -4}]의 값은?
① [eqn: -4]   ② [eqn: -2]   ③ [eqn: 0]   ④ [eqn: 2]   ⑤ [eqn: 4]

0 정답 ④

[eqn: f(x) = x^3 -2x^2 +3x-1]에서 [eqn: f~ prime ~(x)=3x ^{2} -4x+3]이므로

[eqn: f(2)=5], [eqn: f~'~(2) = 7]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 2} {} {4f(x)-x ^{2} f(2)} over {x ^{2} -4} = lim _{x -> 2} {} {4f(x)-4f(2)-x ^{2} f(2)+4f(2)} over {x ^{2} -4}]

[eqn: = 4 lim_x->2 { f(x)- f(2)}Over x-2 cdot 1over x+2 - f(2) cdot lim_x->2 { x^2 -4}over {x^2 -4}]

[eqn: = 4 cdot f~'~(2) cdot 1over4 - f(2) = 4 cdot 7 cdot 1over4 - 5 = 2]

14. 함수 [eqn: f`` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x ^{2} +4x-1```]에 대하여

[eqn: lim _{x-> 2} {{8f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{3} f ``LEFT ( 2 RIGHT )} over {x ^{3} -8}}] 의 값은?
① [eqn: -2]   ② [eqn: - {5} over {3}]   ③ [eqn: {1} over {3}]   ④ [eqn: {3} over {2}]   ⑤ [eqn: 5]

0 정답 ②

[eqn: f`prime(x)=3x ^{2} -4x+4]이므로

[eqn: lim _{x-> 2} {{8f(x)-x ^{3} f(2)} over {x ^{3} -8}}][eqn: = lim _{x-> 2} {{8 LEFT { f(x)-f(2) RIGHT } -f(2)(x ^{3} -8)} over {x ^{3} -8}}]

[eqn: = lim _{x-> 2} {LEFT [ {8 LEFT { f(x)-f(2) RIGHT }} over {x ^{3} -8} -f(2) RIGHT ]}]

[eqn: = lim _{x-> 2} {LEFT { {f(x)-f(2)} over {x-2} cdot {8} over {x ^{2} +2x+4} -f(2) RIGHT }}]

[eqn: = {2} over {3} f`prime(2)-f(2)= {2} over {3} cdot8-7=- {5} over {3}]

15. 함수 [eqn: f(x) = cases{x^2 +ax +3 ~&~(x<=1 ) # -x^2 +3x+b ~&~ (x>1) }]가 모든 실수

[eqn: x]에 대하여 미분가능 하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을

정할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라.

0 정답 2

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에

대하여 미분가능하다. [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면

[eqn: x=1]에서 연속이므로  [eqn: f(1) = lim_x->1-0 f(x) = lim_x->1+0 f(x)]

따라서 [eqn: 1+a+3= -1+3+b]에서 [eqn: a-b+2=0] [eqn: cdots]㉠

또, [eqn: f~'~(x) = cases{2x+a ~&~(x<1)# -2x+3~&~(x>1) }]이고 [eqn: x=1]에서

미분가능하므로 [eqn: lim_x->1-0 f~'~(x) = lim_x->1+0 f~'~(x)]에서

[eqn: 2+a= -2+3][eqn: cdots]㉡  ㉠, ㉡에서 [eqn: a=-1,~b=1]

16. 곡선 [eqn: y=x ^{3} -1]위의 점 [eqn: LEFT ( `2`,`7 RIGHT )]에서의 접선의

방정식은 [eqn: y=ax+b]이다. 이 때, [eqn: a-b]의 값을

구하여라.

0 정답 [eqn: 29]

[eqn: y`` prime ``=3x ^{2}]이므로 점 [eqn: LEFT ( `2`,`7 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-7=12 LEFT ( `x-2 RIGHT )]   [eqn: THEREFORE y=12x-17]

따라서 [eqn: a=12`,`b=`-17]이므로 [eqn: a-b=12- LEFT ( -17 RIGHT ) =29]

17. 곡선 [eqn: y=x^3 +3x^2]에 접하고 직선 [eqn: x-3y-1=0]에

수직인 직선의 방정식을 구하여라.

0 정답 [eqn: y=-3x-1]

[eqn: y=x^3 +3x^2]에서 [eqn: y prime = 3x^2 +6x]이다. 구하는 접점의 좌표를

[eqn: (a,``a^3 +3a^2 )]이라 하면 기울기는 [eqn: 3a^2 +6a]이므로 접선의

방정식은 [eqn: y-(a^3 +3a^2 ) =(3a^2 +6a)(x-a)]이다.

이 때, 직선 [eqn: x-3y-1=0]의 기울기는 [eqn: 1over3]이므로 이 직선과

수직인 접선의 기울기는 [eqn: -3]이다. 따라서 [eqn: 3a^2 +6a=-3],

[eqn: 3(a+1)^2 =0]에서 [eqn: a=-1]이므로 구하는 접선의 방정식은

[eqn: y-(-1+3)=(3-6)(x+1)] [eqn: therefore``y=-3x-1]

18. 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점에서 직선 [eqn: 4x-4y-9=0]

까지의 최단 거리는?
① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]  ② [eqn: 1]  ③ [eqn: sqrt {2}]  ④ [eqn: 2 sqrt {2}]  ⑤ [eqn: 4]

정답 ③

[eqn: 4x-4y-9=0]의 기울기가 [eqn: 1]이므로 구하는 최단거리는

접선의 기울기가 [eqn: 1]인 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 접점에서 직선까지의

거리와 같다. 곡선 [eqn: y=x ^{2}]위의 점 [eqn: LEFT ( a,~a ^{2} RIGHT )]에서의 접선의

기울기가 [eqn: 1]이라고 하면 [eqn: y'=2x]에서 [eqn: 2a=1] ∴ [eqn: a= {1} over {2}]

따라서, 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~ {1} over {4} RIGHT )]이므로 구하는 최단 거리는

·[eqn: {|`2-1-9`|} over {sqrt {4 ^{2} LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2}}} = {8} over {4 sqrt {2}} = sqrt {2}]

19. 곡선[eqn: y=x ^{2} -1]위의 점 [eqn: LEFT ( `a`,`b RIGHT )]에서 접하는 접선이

[eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]일 때,

이 접선의 [eqn: y]절편은?
① [eqn: - {3} over {2}]   ② [eqn: - {7} over {4}]   ③ [eqn: -2]   ④ [eqn: - {9} over {4}]   ⑤ [eqn: - {5} over {2}]

정답 ②

[eqn: y=x ^{2} -1]에서 [eqn: y``'=2x]이므로 점 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]에서의 접선의

기울기는 [eqn: 2a]이다. 이 때, 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는

각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이므로 [eqn: 2a=tan`60 DEG = sqrt {3}][eqn: THEREFORE a= {sqrt {3}} over {2}]

또한,  점 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=x ^{2} -1]위의 점이므로

[eqn: b=a ^{2} -1=- {1} over {4}] 따라서 점[eqn: LEFT ( {sqrt {3}} over {2} ,```- {1} over {4} RIGHT )]에서의 접선의

방정식은 [eqn: y- LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) = sqrt {3} LEFT ( x- {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ,`]즉 [eqn: y= sqrt {3} x- {7} over {4}]

이므로 [eqn: y]절편은 [eqn: - {7} over {4}]이다.

20. 곡선 [eqn: y=ax ^{2}] [eqn: LEFT ( a!=0 RIGHT )] 위의 원점이 아닌 임의의 점

[eqn: LEFT ( t,~at ^{2} RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표를

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라고 할 때, [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?
① [eqn: {1} over {2}]   ② [eqn: 1]   ③ [eqn: {3} over {2}]   ④ [eqn: 2]   ⑤ [eqn: {5} over {2}]

정답 ①

[eqn: y prime =2ax]이므로 [eqn: x=t]인 점에서 접선의 기울기는 [eqn: 2at]이다.

따라서, 접선의 방정식은 [eqn: y-at ^{2} =2at LEFT ( x-t RIGHT )],

즉, [eqn: y=2atx-at ^{2}] 접선과 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 2atx-at ^{2} =0]에서 [eqn: x= {t} over {2}] [eqn: LEFT ( BECAUSE `a != 0,~t!=0 RIGHT )]
따라서, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {t} over {2}] 이므로 [eqn: f' LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2}] ∴ [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {2}]

21. 점 [eqn: (0,``1)]에서 곡선 [eqn: y=x^3 -x+3]에 그은 접선의

방정식을 구하여라.

0 정답 [eqn: y=2x+1]

접점의 좌표를 [eqn: (a,``a^2 -a+3)]이라 하면 [eqn: y prime =3x^2 -1]에서

접선의 기울기는 [eqn: 3a^2 -1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-(a^3 -a+3)=(3a^2 -1)(x-a)] ㉠이 [eqn: (0,``1)]을 지나므로

[eqn: 1-(a^3 -a+3)=(3a^2 -1)(0-a)], [eqn: 2a^3 =2][eqn: therefore ```a=1]

따라서 ㉠에서 구하는 접선의 방정식은

[eqn: y-3=2(x-1)], 즉 [eqn: y=2x+1]

22. 함수 [eqn: f ` (x) = - x^2 + 2x , ~ g `(x) = x^2 +1 ``]에 대하여

합성함수 [eqn: (f∘g )(x) ``]의 [eqn: x = 1``]에서의 접선의

기울기는?

③

[eqn: f ``′ (x) = - 2x + 2 , ~ g ``′ (x) = 2x]

합성함수 미분 [eqn: [ f ``(▲)]′= f``′(▲ ) ⋅ ▲′``]를 이용하면

[eqn: LEFT { f ``( g ``(x))RIGHT }′ = f ``′ ( g ``(x))⋅ g``′ (x)]

([eqn: x = 1 ``]일 때 접선의 기울기)[eqn: = f ``′( g ``(1))⋅ g ``′ (1)]

[eqn: = f ``′(2) ⋅ g ``′ (1)][eqn: = -2 ⋅2= -4]

① [eqn: -8]   ② [eqn: -6]   ③ [eqn: -4]   ④ [eqn: -2]   ⑤ [eqn: 0]

23. 미분가능 한 함수[eqn: f` (x)]가 모든 실수[eqn: x,~y]에 대하여

[eqn: f`(x+y)=f`(x)+f`(y)-3xy] 를 만족하고,

[eqn: f`' (0) =-2]일 때, [eqn: f`' (x)]의 값을 구하면?

②

주어진 식에 [eqn: x=0,~ y =0]을 대입하면

[eqn: f` (0) = f` (0) + f` (0) -0]에서 [eqn: ~~~f` (0) =0]

[eqn: f`' (0) =lim from { h ->0 } {f` (h) - f` (0)} over h]  [eqn: = lim from { h ->0 } {f` (h)} over h = -2]

[eqn: ∴~ f`' (x) = lim from { h ->0 } {f` (x+h) - f` (x)} over h]

[eqn: = lim from { h ->0 } {f` (x) + f` (h) -3xh -f` (x)} over h]

[eqn: = lim from { h ->0 } {f` (h) - 3xh } over h] [eqn: = lim from { h ->0 } {f` (h)} over h -3x][eqn: = -2-3x]

① [eqn: f`' (x) =-2]        ② [eqn: f`' (x) = -3x-2]

③ [eqn: f`' (x) = 2x-3]     ④ [eqn: f`' (x) = x^2 -2]

⑤ [eqn: f`' (x) = -x^2 -3]

24. 다항함수[eqn: f` (x)]에 대하여 [eqn: f` (2) =2,~ f`' (2) =5]일 때,

[eqn: lim from { x ->2 } {2 f` (x) - x f` (2)} over x-2]의 값은?

③

[eqn: lim from { x ->2 } {2 f` (x) - x f` (2)} over x-2]

[eqn: = lim from { x ->2 } {2 f` (x) - 2 f` (2) + 2 f` (2) -x f` (2)} over x-2]

[eqn: = lim from { x ->2 } {2LEFT { f` (x) - f` (2)RIGHT } - f` (2) (x-2)} over x-2]

[eqn: = 2 lim from { x ->2 } {f` (x) - f` (2)} over x-2 -f` (2)][eqn: =2 f`' (2 ) -f` (2)][eqn: =2 ∙ 5-2 =8]

① 3    ② 5    ③ 8    ④ 10    ⑤ 12

25. [eqn: f ` (1) = 2 , ~ f ` ′(1) = 3 ``]인 함수 [eqn: f ` (x) ``]에 대하여

[eqn: lim from { x -> 1} { f ` (x^3 ) - f ` (1)} over {x-1 }`]의 값은?

④

[eqn: lim from { ▲ ->a } { f ``(▲ ) - f ``(a)} over { ▲ -a} = f ``′(a) ``]이므로

(준식)	[eqn: = lim from { x -> 1} { f ``(x^3 ) - f ``(1)} over {x^3 -1 } ⋅ ( x^2 + x +1)]

[eqn: = f ``′(1) ⋅lim from { x -> 1} ( x^2 + x + 1 )][eqn: = 3⋅3=9]

① [eqn: 4]    ② [eqn: 6]    ③ [eqn: 8]    ④ [eqn: 9]    ⑤ [eqn: 12]

26. [eqn: f``(a)= lim from { x`` ->`a } {x^3 -a^3 } over {x-a }]일 때,
[eqn: lim from { h`` ->`0 } { f``(a+h)-f``(a-h)} over {h }] 의 값을 구하여라.

[eqn: 12a`]

27. [eqn: x^10 - 1 ``]을 [eqn: (x-1)^2 ``]으로 나누었을 때의 나머지가

[eqn: ax + b ``]이다. 이 때, [eqn: a- b `]의 값은?

(단, [eqn: a, ~ b `]는 상수)

5번

[eqn: x^10 -1 = (x-1)^2 ⋅Q (x) + ax + b ~](단, [eqn: Q ``(x) ``]는 몫)

[eqn: x = 1 ``]을 대입하면 [eqn: 0 = a + b][eqn: ⋯⋯㉠] 또, 양변을 미분하면

[eqn: 10 x^9 = 2 ( x-1) Q(x)+ (x-1) ^2 Q′ (x) +a]

[eqn: x = 1 ``]을 대입하면      [eqn: ∴``a = 10]

㉠에서 [eqn: b = -10]  [eqn: ∴`` a-b= 20]

① [eqn: -9]   ② [eqn: 0]   ③ [eqn: 9]   ④ [eqn: 19]   ⑤ [eqn: 20]

28. 다항식[eqn: P `(x) = x^6 + ax^2 - bx + 1 `]이

[eqn: (x+1)^2 `]으로 나누어 떨어지도록 하는 상수 [eqn: a , ~b ``]에

대하여 [eqn: a - b `]의 값은?

1번

[eqn: P` (x)]를 [eqn: (x + 1 )^2 ``]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q``(x) ``]라 하면

[eqn: x^6 + ax^2 - bx +1 = ( x+1 ) ^2 Q` (x)]	[eqn: ⋯⋯㉠]

㉠의 양변에 [eqn: x = - 1 ``]을 대입하면 [eqn: 1 + a + b + 1 = 0]

[eqn: ∴`` a + b = -2][eqn: ⋯⋯㉡] ㉠의 양변을 [eqn: x ``]에 대하여 미분하면

[eqn: 6 x^5 +2ax -b = 2 ( x+1 ) Q(x) + (x+1)^2 Q′(x)``]이고

양변에 [eqn: x = - 1 ``]을 대입하면 [eqn: -6-2a-b=0][eqn: ⋯⋯㉢]

[eqn: ㉡+㉢ ``]을 하면 [eqn: a = - 4 , ~ b = 2][eqn: ∴`` a - b = -6]

① [eqn: -6]   ② [eqn: -3]   ③ [eqn: -2]   ④ [eqn: -1]   ⑤ [eqn: 2]

29. 곡선 [eqn: y=x ^{2} +1]밖의 한 점 [eqn: LEFT ( -1`,`-2 RIGHT )]에서

이 곡선에 그은 두 접선 [eqn: l _{1} `,`l _{2}]의 [eqn: y]절편을 각각

[eqn: a`,`b]라 할 때, [eqn: LEFT | ``a-b`` RIGHT |]의 값은?

정답 ③

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,``t ^{2} +1 RIGHT )]이라 하면 [eqn: y'=2x]이므로 접선의

방정식은 [eqn: y- LEFT ( t ^{2} +1 RIGHT ) =2t LEFT ( x-t RIGHT )] 이 접선이 점 [eqn: LEFT ( -1,``-2 RIGHT )]를

지나므로 [eqn: -2- LEFT ( t ^{2} +1 RIGHT ) =2t LEFT ( -1-t RIGHT ) ,`t ^{2} +2t-3=0]

[eqn: LEFT ( t+3 RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT ) =0````````````][eqn: THEREFORE t=-3`]또는 [eqn: t=1]

따라서 두 접선의 방정식은 [eqn: y=-6x-8,``y=2x]이므로

[eqn: LEFT | a-b RIGHT | = LEFT | -8-0 RIGHT | =8]

① [eqn: 6]   ② [eqn: 7]   ③ [eqn: 8]   ④ [eqn: 9]   ⑤ [eqn: 10]

30. 함수[eqn: f` (x) = cases{ x^2 ~ ~~````(x ≧2 )#ax+b ~ (x <2) }]가 [eqn: x=2]에서

미분가능 할 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

2번

[eqn: f` (x)]가 [eqn: x=2]에서 미분가능 하므로 [eqn: x=2]에서 연속이다.

즉, [eqn: f` (2) = lim from { x ->2 } f` (x)]에서 [eqn: 4 = 2a+b ~~~~~~cdotscdots㉠]

또, [eqn: f`' (2)]가 존재하므로

[eqn: lim _{h -> +0} {} {f`(2+h)-f`(2)} over {h} = lim _{h -> +0} {} {(2+h) ^{2} -4} over {h}][eqn: = lim _{h -> +0} {} (4+h)=4]

[eqn: lim _{h -> -0} {} {f`(2+h)-f`(2)} over {h} = lim _{h -> -0} {} {a`(2+h)+b-(2a+b)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> -0} {} {ah} over {h} =a]에서 [eqn: a=4] [eqn: a=4]를 ㉠에 대입하면 [eqn: b=`-4]

[eqn: ∴~ a+b = 4 + (-4) =0]

① -2   ② 0   ③ 2   ④ 4   ⑤ 6

31. [eqn: y = x^3 + 2x^2 - 1 `]에 대하여 곡선 위의 점 [eqn: (-1,~0)`]

에서의 접선의 방정식과 [eqn: x `]축, [eqn: y `]축으로 둘러싸인

삼각형의 넓이는?

②

[eqn: f ``(x) = x^3 + 2x^2 -1 ``]이라 하면

[eqn: f ``′ (x) = 3x^2 + 4x ``]이고 [eqn: x = - 1 ``]일 때 접선의 기울기

[eqn: f`` prime (-1)=`-1]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y-0=`-1(x+1)]

에서 [eqn: y = - x-1 ``]이다. 따라서, [eqn: x``]절편은 [eqn: -1 ,~ y ``]절편은 [eqn: -1]

∴(삼각형 넓이)[eqn: = 1 over 2 ×``1``×``1 = 1 over 2]

① [eqn: 1over 4]   ② [eqn: 1 over 2]   ③ [eqn: 3 over 4]   ④ [eqn: 1]   ⑤ [eqn: 5 over 4]

32. 두 개의 곡선 [eqn: y = x^3 , ~y= ax^2 + bx `]가 점 [eqn: (1, ~ 1 ) `]에서

만나고 이 점에서 각 곡선에 그은 접선이

직교할 때, [eqn: a+ b `]의 값은?

3번

[eqn: f ``(x) = x^3 , ~ g ``(x) = ax^2 + bx``]라 놓으면

[eqn: f``′ (x) = 3x^2 , ~ g ``′ (x) = 2ax + b] 두 곡선이 [eqn: ( 1, ~ 1 ) ``]을 지나므로

[eqn: f ``(1) = g ``(1) ``]에서 [eqn: a +b=1][eqn: ⋯⋯㉠] 점 [eqn: ( 1, ~ 1)``]에서

두 곡선의 접선이 직교하므로 (두 직선 기울기의 곱)[eqn: = 1 ``]에서

[eqn: f``′(1) ``×``g ``′ (1) = - 1 ``]이다. [eqn: ∴`` 3 ( 2a + b ) = -1]	[eqn: ⋯⋯㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a = - 4 over 3 , ~ b= 7 over 3][eqn: ∴`` a+b =1]

① [eqn: - 11 over 3]   ② [eqn: 0]   ③ [eqn: 1]   ④ [eqn: 5 over 3]   ⑤ [eqn: 11 over 3]

33. 함수 [eqn: f(x) = 2x^2 +5x +1]에 대하여

[eqn: lim_n->inf n left{ f LEFT ( 1 + 3 over n RIGHT ) - f LEFT ( 1- 1 over n RIGHT ) right}] 값을 구하시오.

정답 [eqn: 36]

[eqn: 1 over n = h`]라 하면 준식[eqn: = lim_h->0 { f ( 1+3h) - f(1-h) } over h]

[eqn: = 3 f prime(1) + f prime (1) = 4 f prime (1) = 36]

34. 두 곡선 [eqn: {cases{`y=x ^{2} +ax#`y=x ^{3} +b}}]가 점 [eqn: (`1``,``c)]에서 공통접선을

갖도록 상수 [eqn: a``,``b``,``c]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+c]의

값은?

4

35. 점 [eqn: (`1``,``k)]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x+1]에 서로 다른

세 개의 접선을 그을 때, 세 접점의 [eqn: x]좌표는

등차수열을 이룬다고 한다. 이 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

3

[eqn: - {3} over {2}]    [eqn: -1]    [eqn: - {1} over {2}]    [eqn: {1} over {2}]    [eqn: {3} over {2}]

36. 두 곡선 [eqn: y=2x^3 +ax,~y=bx^3 +c]가 점[eqn: (1,~-1)]에서

공통인 접선을 가질 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여

[eqn: a+b-c]의 값을 구하여라.

[eqn: f(x)= 2x^3 + ax ,~ g(x ) = bx^3 +c`]라고 하면

[eqn: f(1) =-1 ,~ g(1 ) =-1]에서

[eqn: 2+a =-1]⋯㉠  [eqn: b+c = -1]⋯㉡

또 [eqn: f``prime (1) = g``prime ( 1 )] 이므로 [eqn: 6+a =3b `]    ⋯⋯㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 [eqn: a =-3 ,````` b=1 ,~ c=-2]

∴[eqn: a+b-c=0]

37. 두 곡선 [eqn: f LEFT ( `x RIGHT ) =x ^{3} -9x]와 [eqn: g LEFT ( `x RIGHT ) =`-3x ^{2} +k]가 서로

접하도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값들의 합은?
① [eqn: 21]   ② [eqn: 22]   ③ [eqn: 23]   ④ [eqn: 24]   ⑤ [eqn: 25]

정답 ②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -9x]에서 [eqn: f``' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -9]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{2} +k]에서 [eqn: g``' LEFT ( x RIGHT ) =-6x] 두 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -9x]

와  [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{2} +k]가 [eqn: x=a]에서 접한다고 하면

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( a RIGHT )]이고, [eqn: f``' LEFT ( a RIGHT ) =g'``` LEFT ( a RIGHT )]이다. [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( a RIGHT )]에서

[eqn: a ^{3} -9a=-3a ^{2} +k````````` CDOTS CDOTS]㉠ [eqn: f``' LEFT ( a RIGHT ) =g``' LEFT ( a RIGHT )]에서

[eqn: 3a ^{2} -9=`-6a]이므로 [eqn: a ^{2} +2a-3=0,``` LEFT ( a+3 RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ``a=`-3] 또는 [eqn: a=1]이므로 [eqn: a=-3]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 0=`-27+k``````````````````````` THEREFORE ``k=27]

[eqn: a=1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: -8=`-3+k````````````````` THEREFORE ``k=`-5]

따라서 모든 실수[eqn: k]의 값들의 합은 [eqn: 27+ LEFT ( -5 RIGHT ) =22]

38. 두 곡선 [eqn: y=x ^{3} +x], [eqn: y=x ^{2} +2x-1]이

서로 접할 때, 그 접점에서의 접선의 방정식은?
① [eqn: y=x+1]   ② [eqn: y=2x-1]   ③ [eqn: y=3x+2]

정답 ④

두 곡선이 [eqn: x=t]인 점에서 접한다고 하면

[eqn: t ^{3} +t=t ^{2} +2t-1]이므로[eqn: t ^{3} -t ^{2} -t+1=0], [eqn: LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( t+1 RIGHT ) =0]

∴ [eqn: t=1], [eqn: -1][eqn: ·····``㉠]

[eqn: y=x ^{3} +z]에서 [eqn: y'=3x ^{2} +1]

[eqn: y=x ^{2} +2x-1]에서 [eqn: y'=2x+2]

[eqn: x=t]인 점에서 두 곡선의 접선의 기울기는 같으므로

[eqn: 3t ^{2} +1=2t+2], [eqn: 3t ^{2} -2t-1=0]이므로 [eqn: LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( 3t+1 RIGHT ) =0]

∴ [eqn: t=1],[eqn: - {1} over {3}][eqn: ·····``㉡] ㉠, ㉡에서 두 곡선은 [eqn: x=1]인 점에서

접하므로 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]이고, 접선의 기울기는 [eqn: 4]이다.

따라서, 접선의 방정식은 [eqn: y-2=4 LEFT ( x-1 RIGHT )] ∴ [eqn: y=4x-2]

④ [eqn: y=4x-2]  ⑤ [eqn: y=5x+3]

39. 곡선 [eqn: y=x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( 2a+1 RIGHT ) x+a+5]는 상수 [eqn: a]의

값에 관계없이 한 점을 지난다. 이 점에서의

접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
① [eqn: {21} over {4}]   ② [eqn: {43} over {8}]   ③ [eqn: {23} over {4}]   ④ [eqn: {49} over {8}]   ⑤ [eqn: {27} over {4}]

정답 ④

[eqn: y=x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( 2a+1 RIGHT ) x+a+5]에서 [eqn: a]에 대하여 정리하면

[eqn: a LEFT ( x ^{2} +2x+1 RIGHT ) + LEFT ( x ^{3} +x+5-y RIGHT ) =0] [eqn: a]의 값에 관계없이

위의 식이 성립하면 [eqn: x ^{2} +2x+1=0], [eqn: x ^{3} +x+5-y=0]

∴ [eqn: x=-1], [eqn: y=3] 따라서, 곡선

[eqn: y=x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( 2a+1 RIGHT ) x+a+5]는 상수 [eqn: a]의 값에 관계없이

점 [eqn: LEFT ( -1,~3 RIGHT )]을 지난다. [eqn: y'=3x ^{2} +2ax+2a+1]이고,

[eqn: x=`-1]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 4] 이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-3-4 LEFT ( x+1 RIGHT )], 즉, [eqn: y=4x+7] 따라서, 접선의 [eqn: x]절편과

[eqn: y]절면은 각각 [eqn: - {7} over {4}], [eqn: 7] 이므로 구하는 삼각형의 넓이는

[eqn: {1} over {2} `·` {7} over {4} `·7= {49} over {8}]

40. 곡선 [eqn: y=`-x ^{3} +2x ^{2} -5x+6]위의 점 [eqn: (`0``,``6)]에서의

접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때,

점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은?

②

① [eqn: y=`-9x-14]     ② [eqn: y=`-9x+14]

③ [eqn: y=9x-14]       ④ [eqn: y=9x+14]

⑤ [eqn: y=14x-9]

41. 함수 [eqn: f(`x)=x ^{2} -6x]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ `1``,``5` RIGHT ]]에서

롤의 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값을 구하여라.

3

42. 함수 [eqn: f(`x)= {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -6x+2]에 대하여 닫힌 구간

[[eqn: 0``,``6]]에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값은?

정답 ④

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -6x+2]는 닫힌 구간 [eqn: [`0,`6]]에서 연속이고

열린 구간 [eqn: (`0,``6``)]에서 미분가능하다. 또,

[eqn: f(0)`=`2,``f(6)=`72-36-36+2`=`2]이므로 [eqn: f`'`(c)`=`0]인

[eqn: c]가 구간 [eqn: (`0,``6``)]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: f`'`(x)`=`x ^{2} -2x-6]이므로

[eqn: f`'`(c)`=`c ^{2} `-2c-6=0``````````` THEREFORE `c`=`1± sqrt {7}]

이 때 [eqn: 0`<`c`<`6]이므로 [eqn: c`=`1+ sqrt {7}]

① [eqn: sqrt {5}]        ② [eqn: sqrt {7}]        ③ [eqn: 1+ sqrt {3}]
④ [eqn: 1+ sqrt {7}]     ⑤ [eqn: 2+ sqrt {3}]

43. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> INF } {f` prime (`x)=3}]일 때,
[eqn: lim _{x-> INF } {LEFT { f(x+4)-f(x) RIGHT }}]의 값을 구하여라.

정답 [eqn: 12]

함수 [eqn: f(x)]는 닫힌 구간 [eqn: [`x,``x+4]]에서 연속이고 열린 구간

[eqn: (x,`x+4)]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

[eqn: {f(x+4)-f(x)} over {4} =`f`'`(c)]인 [eqn: c]가 [eqn: (x,`x+4)]에 적어도 하나

존재한다. 한편, [eqn: x` -> ` INF]이면 [eqn: x`<`c`<`x+4]에서 [eqn: c` -> ` INF]이므로

[eqn: lim _{x` -> INF } {` LEFT { `f(x+4)`-f(x) RIGHT } `=` lim _{c` -> ` INF } {`4`f` prime `(c)} `=`4 BULLET 3`=`12}]